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आज हम de Morgan theorem को hindi में समझने वाले है। Boolean Algebra में Expressions को simplify करने के लिए यह एक महत्वपूर्ण theorem है।
हम इन theorems को उदाहरण सहित समझेंगे और देखेंगे की boolean algebra में इन्हे कैसे apply किया जाता है।
Table of Contents
De Morgan's Theorem In Hindi
इन theorems का नाम ब्रिटिश गणितज्ञ Augustus De Morgan के नाम पर रखा गया है क्यों की उनके द्वारा ही इन theorems को बनाया गया है।
De Morgan की theorem का कम्प्यूटर विज्ञान , डिजिटल लॉजिक डिज़ाइन आदि में महत्वपूर्ण स्थान है।
इसमें complement (NOT), conjunction (AND), और disjunction (OR) operations का प्रयोग करके expressions को simplify किया जाता है।
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| De Morgan Theorem In Hindi |
De Morgan's First Theorem In Hindi
De Morgan's की First Theorem की सहयता से हमे "AND operation के complement" और "values के complement के OR Operation" के मध्य सम्बन्ध को बताता है। इसे एक सूत्र से समझते है
NOT(A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)
ऊपर लिखे सूत्र से हम समझ सकते है की A तथा B पर AND operation किया जाये तथा इसके रिजल्ट पर NOT operation किया जाये तो यह बराबर होगा NOT A और NOT B पर OR operation करने के बाद जो result आएगा।
उदाहरण के लिए:
मान लीजिये हमारे पास दो कथन है
A: सूर्य चमक रहा है
B: आज बहुत गर्मी है
अब हमे A AND B का complement (NOT) पता करना है, या यूँ कहे NOT(A AND B) पता करना है
A AND B का अर्थ है दोनों कथन सत्य है
NOT(A AND B) का अर्थ हुआ "सूर्य चमक रहा है AND आज बहुत गर्मी है" का complement या NOT
अब De Morgan की प्रथम प्रमेय से हम NOT(A AND B) को (NOT A) OR (NOT B) लिख सकते है
(NOT A) का अर्थ "सूर्य चमक नहीं रहा" तथा (NOT B) का अर्थ "आज गर्मी नहीं है"
इस तरह पूर्ण कथन होगा "सूर्य चमक नहीं रहा OR आज गर्मी नहीं है"
पूर्ण रूप से De Morgan Theorem को निचे दी गयी Truth Table से समझ पाएंगे
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De Morgan's Second Theorem In Hindi
De Morgan's की Second Theorem की सहयता से हमे "OR operation के complement" और "values के complement के AND Operation" के मध्य सम्बन्ध को बताता है। इसे एक सूत्र से समझते है
NOT(A OR B) = (NOT A) AND (NOT B)
ऊपर लिखे सूत्र से हम समझ सकते है की A तथा B पर OR operation किया जाये तथा इसके रिजल्ट पर NOT operation किया जाये तो यह बराबर होगा NOT A और NOT B पर AND operation करने के बाद जो result आएगा।
उदाहरण से समझते है
मान लीजिये हमारे पास दो कथन है
P: पुस्तकालय खुला है
Q: किताबो की दुकान बंद है
अब हमे NOT(P OR Q) पता करना है
P OR Q का मतलब दोनों में से कम से कम एक कथन सत्य है , "पुस्तकालय खुला है" या " किताबो की दुकान बंद है"
यहाँ NOT(P OR Q), P OR Q के रिजल्ट का compliment हो जायेगा
De Morgan की दूसरी Theorem का प्रयोग करके हम NOT(P OR Q) को (NOT P) AND (NOT Q) लिख सकते है।
(NOT P) का अर्थ होगा "पुस्तकालय बंद है"
(NOT Q) का अर्थ होगा "किताबों की दुकान खुली है"
अतः यह होगा: "पुस्तकालय बंद है AND किताबों की दुकान खुली है"
De Morgan की दूसरी प्रमेय को हम निचे दी गयी Truth Table से बेहतर समझ पायेंगे।
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| De Morgan's 2nd Theorem Truth Table |
De Morgan Theorem का Use
- Logical Expressions को Simplify करने में मदद करता है।
- Digital logic circuit design में भी इसका प्रयोग किया जाता है
- Boolean Algebra में
- Digital circuits में त्रुटि का पता लगाने में
Conclusion
Boolean Algebra और logic को simplify करने के लिए डी मॉर्गन थ्योरम एक महत्वपूर्ण tool है। इसकी सहयता से हम जटिल लॉजिक सूत्रों को आसान बना सकते है। इस Article "De Morgan's Theorem In Hindi" में हमने De Morgan theorem को पढ़ा साथ ही उदाहरणों और Truth Table की सहयता से समझा।
